深度學(xué)習(xí)開(kāi)源框架基礎(chǔ)算法之傅立葉變換的概要介紹

傅立葉變換時(shí)數(shù)字信號(hào)處理的重要方法之一，是法國(guó)數(shù)學(xué)家傅立葉在1807年在法國(guó)科學(xué)學(xué)會(huì)上發(fā)表的一篇文章中所提出的，在文章中使用了正弦函數(shù)描述溫度分布，而且提出了一個(gè)著名的論斷：任何連續(xù)性的周期信號(hào)都可以由一組適當(dāng)?shù)恼仪€(xiàn)組合而成。而這個(gè)論斷被當(dāng)時(shí)審查論文的著名數(shù)學(xué)家拉格朗日所否定，拉格朗日認(rèn)為正弦函數(shù)無(wú)法組合成一個(gè)個(gè)帶有棱角的信號(hào)，但是從無(wú)限逼近的角度考慮，可以使用正弦函數(shù)來(lái)非常逼近期直到表示方法不存在明顯差異，這篇論文最終在在拉格朗日死后15年之久才得以發(fā)表。

傅立葉變換的分類(lèi)

根據(jù)信號(hào)是是周期性以及連續(xù)還是離散的特點(diǎn)，將傅立葉變換進(jìn)行延伸，變換分為如下四種

另外，根據(jù)使用的是實(shí)數(shù)還是復(fù)數(shù)，有分為實(shí)數(shù)傅立葉變換和復(fù)數(shù)傅立葉變換。

主要特點(diǎn)：FS

用于分析連續(xù)周期信號(hào)。時(shí)域上任意連續(xù)的周期信號(hào)可以分解為無(wú)限多個(gè)正弦信號(hào)之和，在頻域上就表示為離散非周期的信號(hào)，即時(shí)域連續(xù)周期對(duì)應(yīng)頻域離散非周期的特點(diǎn)。

主要特點(diǎn)：FT

主要用于分析連續(xù)非周期信號(hào)，由于信號(hào)是非周期的，它必包含了各種頻率的信號(hào)，所以具有時(shí)域連續(xù)非周期對(duì)應(yīng)頻域連續(xù)非周期的特點(diǎn)。

FS和FT 都是用于連續(xù)信號(hào)頻譜的分析工具，都以傅立葉級(jí)數(shù)理論問(wèn)基礎(chǔ)推導(dǎo)出的。時(shí)域上連續(xù)的信號(hào)在頻域上都有非周期的特點(diǎn)，但對(duì)于周期信號(hào)和非周期信號(hào)又有在頻域離散和連續(xù)之分。

主要特點(diǎn)：DTFT

它用于離散非周期序列分析，根據(jù)連續(xù)傅立葉變換要求連續(xù)信號(hào)在時(shí)間上必須可積這一充分必要條件，那么對(duì)于離散時(shí)間傅立葉變換，用于它之上的離散序列也必須滿(mǎn)足在時(shí)間軸上級(jí)數(shù)求和收斂的條件；由于信號(hào)是非周期序列，它必包含了各種頻率的信號(hào)，所以DTFT對(duì)離散非周期信號(hào)變換后的頻譜為連續(xù)的，即有時(shí)域離散非周期對(duì)應(yīng)頻域連續(xù)周期的特點(diǎn)。

主要特點(diǎn)：DFT

假設(shè)了序列的周期無(wú)限性，但在處理時(shí)又對(duì)區(qū)間作出限定（主值區(qū)間），以符合有限長(zhǎng)的特點(diǎn)，這就使DFT帶有了周期性。另 外，DFT只是對(duì)一周期內(nèi)的有限個(gè)離散頻率的表示，所以它在頻率上是離散的，就相當(dāng)于DTFT變換成連續(xù)頻譜后再對(duì)其采樣，此時(shí)采樣頻率等于序列延拓后的周期N，即主值序列的個(gè)數(shù)。

離散傅立葉變換DFT

DFT用于將信號(hào)從時(shí)域變換為頻域，而且時(shí)域與頻域都是離散的，可以確認(rèn)出一個(gè)信號(hào)是由哪些正弦波疊加而成，而這些結(jié)果者反應(yīng)為正弦波的振幅和相位等信息。而至于時(shí)域與頻域，前者表示的是信號(hào)隨時(shí)間動(dòng)態(tài)變化的關(guān)系，在這種分析方式下，往往會(huì)隨著時(shí)間的不同信號(hào)呈現(xiàn)不同的狀態(tài)變化。而頻域可以理解為正弦波的振幅，從傅立葉的論斷中我們了解到，任何周期函數(shù)，都可能是由不同振幅和不同相位與角頻率的正弦波的疊加，頻域分析的一個(gè)主要結(jié)果是頻譜，常見(jiàn)的頻譜有兩種：振幅相關(guān)的頻譜與相位相關(guān)的頻譜。比如正弦曲線(xiàn)可表示為y=Asin(ωx+φ)+k，具體的實(shí)際意義如下所示：

理解輔助：變形的諧波函數(shù)

諧波（harmonic wave）是指電流中所含有的頻率為基波的整數(shù)倍的電量，一般是指對(duì)周期性的非正弦電量進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)分解，其余大于基波頻率的電流產(chǎn)生的電量。如下可以看出動(dòng)態(tài)的三角函數(shù)的圖形變換，可以加深對(duì)傅立葉論斷的理解。

理解輔助：振幅的頻譜

而至于如何求取頻譜，由于三角函數(shù)具有正交性，相互之間不具影響，根據(jù)此特性結(jié)合下圖，對(duì)于振幅的頻譜則可有直觀的了解。而至于初相相關(guān)的頻譜，可以以此為基礎(chǔ)，不難理解。

快速傅立葉變換FFT

FFT（Fast Fourier Transform）實(shí)際只是DFT的改善。是1965年由庫(kù)利和圖基共同提出的一種快速計(jì)算DFT的方法。這種方法充分利用了DFT運(yùn)算中的對(duì)稱(chēng)性和周期性，從而將DFT運(yùn)算量從N2減少到N*log2N。當(dāng)N比較小時(shí)，F(xiàn)FT優(yōu)勢(shì)并不明顯。但當(dāng)N大于32開(kāi)始，點(diǎn)數(shù)越大，F(xiàn)FT對(duì)運(yùn)算量的改善越明顯。比如當(dāng)N為1024時(shí)，F(xiàn)FT的運(yùn)算效率比DFT提高了100倍。

應(yīng)用領(lǐng)域和局限

傅立葉變化在很多領(lǐng)域都有很好的應(yīng)用，比如圖像優(yōu)化和音頻降噪等等，但是由于傅立葉變換的模型建立在平穩(wěn)信號(hào)基礎(chǔ)上的，對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)的分析具有很大的局現(xiàn)性。

總結(jié)

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