深度學(xué)習(xí)開源框架基礎(chǔ)算法之傅立葉變換的概要介紹

傅立葉變換時數(shù)字信號處理的重要方法之一，是法國數(shù)學(xué)家傅立葉在1807年在法國科學(xué)學(xué)會上發(fā)表的一篇文章中所提出的，在文章中使用了正弦函數(shù)描述溫度分布，而且提出了一個著名的論斷：任何連續(xù)性的周期信號都可以由一組適當(dāng)?shù)恼仪€組合而成。而這個論斷被當(dāng)時審查論文的著名數(shù)學(xué)家拉格朗日所否定，拉格朗日認(rèn)為正弦函數(shù)無法組合成一個個帶有棱角的信號，但是從無限逼近的角度考慮，可以使用正弦函數(shù)來非常逼近期直到表示方法不存在明顯差異，這篇論文最終在在拉格朗日死后15年之久才得以發(fā)表。

傅立葉變換的分類

根據(jù)信號是是周期性以及連續(xù)還是離散的特點，將傅立葉變換進行延伸，變換分為如下四種

另外，根據(jù)使用的是實數(shù)還是復(fù)數(shù)，有分為實數(shù)傅立葉變換和復(fù)數(shù)傅立葉變換。

主要特點：FS

用于分析連續(xù)周期信號。時域上任意連續(xù)的周期信號可以分解為無限多個正弦信號之和，在頻域上就表示為離散非周期的信號，即時域連續(xù)周期對應(yīng)頻域離散非周期的特點。

主要特點：FT

主要用于分析連續(xù)非周期信號，由于信號是非周期的，它必包含了各種頻率的信號，所以具有時域連續(xù)非周期對應(yīng)頻域連續(xù)非周期的特點。

FS和FT 都是用于連續(xù)信號頻譜的分析工具，都以傅立葉級數(shù)理論問基礎(chǔ)推導(dǎo)出的。時域上連續(xù)的信號在頻域上都有非周期的特點，但對于周期信號和非周期信號又有在頻域離散和連續(xù)之分。

主要特點：DTFT

它用于離散非周期序列分析，根據(jù)連續(xù)傅立葉變換要求連續(xù)信號在時間上必須可積這一充分必要條件，那么對于離散時間傅立葉變換，用于它之上的離散序列也必須滿足在時間軸上級數(shù)求和收斂的條件；由于信號是非周期序列，它必包含了各種頻率的信號，所以DTFT對離散非周期信號變換后的頻譜為連續(xù)的，即有時域離散非周期對應(yīng)頻域連續(xù)周期的特點。

主要特點：DFT

假設(shè)了序列的周期無限性，但在處理時又對區(qū)間作出限定（主值區(qū)間），以符合有限長的特點，這就使DFT帶有了周期性。另 外，DFT只是對一周期內(nèi)的有限個離散頻率的表示，所以它在頻率上是離散的，就相當(dāng)于DTFT變換成連續(xù)頻譜后再對其采樣，此時采樣頻率等于序列延拓后的周期N，即主值序列的個數(shù)。

離散傅立葉變換DFT

DFT用于將信號從時域變換為頻域，而且時域與頻域都是離散的，可以確認(rèn)出一個信號是由哪些正弦波疊加而成，而這些結(jié)果者反應(yīng)為正弦波的振幅和相位等信息。而至于時域與頻域，前者表示的是信號隨時間動態(tài)變化的關(guān)系，在這種分析方式下，往往會隨著時間的不同信號呈現(xiàn)不同的狀態(tài)變化。而頻域可以理解為正弦波的振幅，從傅立葉的論斷中我們了解到，任何周期函數(shù)，都可能是由不同振幅和不同相位與角頻率的正弦波的疊加，頻域分析的一個主要結(jié)果是頻譜，常見的頻譜有兩種：振幅相關(guān)的頻譜與相位相關(guān)的頻譜。比如正弦曲線可表示為y=Asin(ωx+φ)+k，具體的實際意義如下所示：

理解輔助：變形的諧波函數(shù)

諧波（harmonic wave）是指電流中所含有的頻率為基波的整數(shù)倍的電量，一般是指對周期性的非正弦電量進行傅里葉級數(shù)分解，其余大于基波頻率的電流產(chǎn)生的電量。如下可以看出動態(tài)的三角函數(shù)的圖形變換，可以加深對傅立葉論斷的理解。

理解輔助：振幅的頻譜

而至于如何求取頻譜，由于三角函數(shù)具有正交性，相互之間不具影響，根據(jù)此特性結(jié)合下圖，對于振幅的頻譜則可有直觀的了解。而至于初相相關(guān)的頻譜，可以以此為基礎(chǔ)，不難理解。

快速傅立葉變換FFT

FFT（Fast Fourier Transform）實際只是DFT的改善。是1965年由庫利和圖基共同提出的一種快速計算DFT的方法。這種方法充分利用了DFT運算中的對稱性和周期性，從而將DFT運算量從N2減少到N*log2N。當(dāng)N比較小時，F(xiàn)FT優(yōu)勢并不明顯。但當(dāng)N大于32開始，點數(shù)越大，F(xiàn)FT對運算量的改善越明顯。比如當(dāng)N為1024時，F(xiàn)FT的運算效率比DFT提高了100倍。

應(yīng)用領(lǐng)域和局限

傅立葉變化在很多領(lǐng)域都有很好的應(yīng)用，比如圖像優(yōu)化和音頻降噪等等，但是由于傅立葉變換的模型建立在平穩(wěn)信號基礎(chǔ)上的，對于非平穩(wěn)信號的分析具有很大的局現(xiàn)性。

總結(jié)

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