Python排序算法之插入排序及其優(yōu)化方案詳解

一、插入排序

插入排序與我們平時(shí)打撲克牌非常相似，將新摸到的牌插入到已有的牌中合適的位置，而已有的牌往往是有序的。

1.1 執(zhí)行流程

（1）在執(zhí)行過程中，插入排序會(huì)將序列分為2部分，頭部是已經(jīng)排好序的，尾部是待排序的。
（2）從頭開始掃描每一個(gè)元素，每當(dāng)掃描到一個(gè)元素，就將它插入到頭部合適的位置，使得頭部數(shù)據(jù)依然保持有序

1.2 逆序?qū)?/h3>

數(shù)組 2,3,8,6,1> 的逆序?qū)椋?,1> ❤️,1> 8,1> 8,6> 6,1>，共5個(gè)逆序?qū)Α?br /> 插入排序的時(shí)間復(fù)雜度與逆序?qū)Φ臄?shù)量成正比關(guān)系，逆序?qū)Φ臄?shù)量越多，插入排序的消耗的時(shí)間就越多。
當(dāng)逆序?qū)Φ臄?shù)量極少時(shí)，插入排序的效率特別高，甚至速度比 O nlogn 級(jí)別的快速排序還要快。

1.3 代碼實(shí)現(xiàn)

將一個(gè)元素插入到數(shù)組有序的前半部分中，那個(gè)插入的位置元素一定是比該元素大，而該位置前的元素比該元素?。ɑ蛘呤菦]有前一個(gè)元素）。所以我們可以通過比較，將該元素進(jìn)行冒泡：如果前一個(gè)元素比我大，則交換位置，否則停止冒泡。

def insertion_sort_ver1(array):
    n=len(array)
    for right in range(1,n):
        cur=right
        while cur>0 and array[cur-1]>array[cur]:
            array[cur-1],array[cur]=array[cur],array[cur-1]
            cur-=1

整體代碼：

import numpy as np
import time

#檢查是否有序
def orderCheck(array):
    for i in range(len(array)-1):
        if array[i]>array[i+1]:
            print('排序失敗')
            return
    print('排序成功')
    
def sort(sort_algorithm,ori_array):
    #先復(fù)制一份數(shù)組，再進(jìn)行更改
    array = np.copy(ori_array)
    start=time.clock()
    sort_algorithm(array)
    end=time.clock()
    total_time=float(end-start)
    print(sort_algorithm.__name__+" : %0.5f" % total_time)
    orderCheck(array)

def insertion_sort_ver1(array):
    n=len(array)
    for right in range(1,n):
        cur=right
        while cur>0 and array[cur-1]>array[cur]:
            array[cur-1],array[cur]=array[cur],array[cur-1]
            cur-=1
            
array=np.random.randint(0,10000,2000,dtype=int)
sort(insertion_sort_ver1, array)

消耗時(shí)間為0.82632秒。

1.4 優(yōu)化1

在冒泡中，交換前后cur和cur-1位置兩個(gè)元素的位置，需要進(jìn)行兩次賦值，但如果冒泡仍要繼續(xù)，cur-1位置的元素還是會(huì)被cur-2位置的元素覆蓋，所以兩次賦值中的一次其實(shí)是無意義的，為此我們可以先找到插入位置，然后將后方的元素作統(tǒng)一的移動(dòng)；或者是在冒泡過程中只進(jìn)行一次賦值（將前一個(gè)元素移動(dòng)到后方），直到冒泡結(jié)束確定插入位置后，再進(jìn)行待插入元素的插入。

#元素交換作優(yōu)化
def insertion_sort_ver2(array):
    n=len(array)
    for right in range(1,n):
        cur=right
        elem=array[cur]
        while cur>0 and array[cur-1]>elem:
            array[cur]=array[cur-1]
            cur-=1
        array[cur]=elem

消耗時(shí)間為0.45987秒，明顯變快了。

1.5 優(yōu)化2

之前我們?cè)趯ふ也迦氲奈恢脮r(shí)，采用的是從大到小依次遍歷的方法，因?yàn)槭窃谝粋€(gè)有序的數(shù)組上尋找插入的位置，我們肯定會(huì)想到一種查找的方法：二分查找。通過二分查找，我們可以通過O(logn)級(jí)別的比較與O(n)級(jí)別的元素移動(dòng)完成排序任務(wù)，而之前我們進(jìn)行的比較和移動(dòng)，都是O(n)級(jí)別。

1.5.1 普通二分查找

普通的二分查找十分簡(jiǎn)單，根據(jù)中間位置元素大小更新兩端索引位置即可，在此兩端的索引 [left,right)采用左閉右開的方式，這樣未查找到元素的條件就十分簡(jiǎn)單，因?yàn)閰^(qū)間左閉右開，當(dāng)leftright時(shí)，表明區(qū)間內(nèi)還有元素，仍舊可以進(jìn)行查找；否則，區(qū)間里沒有元素了，說明元素未查找到，代碼如下。

def binary_search(array,target):#[left,right)左閉右開
    left=0
    right=len(array)
    while leftright:#當(dāng)leftright，表明區(qū)間中還有值，否則哪怕left==right,因right不可取，區(qū)間中還是無值
        middle = (left + right) >> 1
        if targetarray[middle]:
            right=middle
        elif array[middle]target:
            left=middle+1
        else:
            return middle
    return -1

1.5.2 二分查找插入位置

查找插入位置的二分查找顯然和普通二分不同，在此我們修改一下左右端點(diǎn)移動(dòng)的條件與移動(dòng)方式。在此左右端點(diǎn)依舊左閉右開，如果當(dāng)array[middle]小于或等于插入元素target，那么顯然middle不可能是插入位置，middle位置的元素也不再需要，left應(yīng)該為middle+1；而當(dāng)array[middle]大于target，那么middle有可能是插入的位置（插入位置大于target，前一個(gè)元素如果存在，應(yīng)小于target），應(yīng)該保留middle，所以right=middle。但是區(qū)間是左閉右開，right不可取到，哪怕right=middle，middle不還是無法取得嗎？但由于array[middle]不論取何值（不管是大于、等于、小于），都將導(dǎo)致左右端點(diǎn)left、right的變化，且數(shù)組中左右端點(diǎn)代表區(qū)間的大小是不斷減小的，最終左右端點(diǎn)重合，此時(shí)的位置就是插入的位置。
下面是查找的示例：

代碼如下：

def binary_search(array,index):
    left=0
    right=index
    while leftright:
        middle=(left+right)>>1
        if array[middle]>array[index]:#大于目標(biāo)，可能是插入的位置，用right保留
            right=middle
        else:#小于等于，不可能是插入位置，更新left為middle+1
            left=middle+1
    return left #最后插入的位置

1.5.3 使用二分的插入排序

找到插入位置后，我們只需移動(dòng)位置后面的元素，再將元素插入即可。

#利用二分查找找到插入的點(diǎn)，減少了比較的次數(shù)
def insertion_sort_ver3(array):
    n=len(array)
    for right in range(1,n):
        index=binary_search(array,right)
        elem=array[right]
        for i in range(right,index,-1):
            array[i]=array[i-1]
        array[index]=elem

可見速度比之前的插入排序仍有提高。

1.6 時(shí)間空間復(fù)雜度

最壞、平均時(shí)間復(fù)雜度：O(n^2)，最好時(shí)間復(fù)雜度：O(n)，空間復(fù)雜度：O(1)。

1.7 穩(wěn)定性

插入排序?qū)⒑蠓降脑貜暮笸安迦?，后邊相等的元素將插入在左邊相等元素的右?cè)，沒有改變?cè)械奈恢茫瑢儆诜€(wěn)定排序。

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