固定費(fèi)用問(wèn)題，是指求解生產(chǎn)成本最小問(wèn)題時(shí)，總成本包括固定成本和變動(dòng)成本，而選擇不同生產(chǎn)方式會(huì)有不同的固定成本，因此總成本與選擇的生產(chǎn)方式有關(guān)。
固定費(fèi)用問(wèn)題，實(shí)際上是互斥的目標(biāo)函數(shù)問(wèn)題，對(duì)于不同的生產(chǎn)方式具有多個(gè)互斥的目標(biāo)函數(shù)，但只有一個(gè)起作用。固定費(fèi)用問(wèn)題不能用一般的線(xiàn)性規(guī)劃模型求解。
一般地，設(shè)有 m 種生產(chǎn)方式可供選擇，采用第 j 種方式時(shí)的固定成本為 \(K_j\)、變動(dòng)成本為 \(c_j\)、產(chǎn)量為 \(x_j\)，則采用各種生產(chǎn)方式的總成本分別為：
該類(lèi)問(wèn)題的建模方法，為了構(gòu)造統(tǒng)一的目標(biāo)函數(shù)，可以引入 m 個(gè) 0-1 變量 y_j 表示是否采用第 j 種生產(chǎn)方式：
于是可以構(gòu)造新的目標(biāo)函數(shù)和約束條件：
M 是一個(gè)充分大的常數(shù)。
例題 1：
某服裝廠(chǎng)可以生產(chǎn) A、B、C 三種服裝，生產(chǎn)不同種類(lèi)服裝需要租用不同設(shè)備，設(shè)備租金、生產(chǎn)成本、銷(xiāo)售價(jià)格等指標(biāo)如下表所示。
| 服裝種類(lèi) | 設(shè)備租金 | 材料成本 | 銷(xiāo)售價(jià)格 | 人工工時(shí) | 設(shè)備工時(shí) | 設(shè)備可用工時(shí) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 單位 | （元） | （元/件） | （元/件） | （小時(shí)/件） | （小時(shí)/件） | （小時(shí)） |
| A | 5000 | 280 | 400 | 5 | 3 | 300 |
| B | 2000 | 30 | 40 | 1 | 0.5 | 300 |
| C | 2000 | 200 | 300 | 4 | 2 | 300 |
如果各類(lèi)服裝的市場(chǎng)需求都足夠大，服裝廠(chǎng)每月可用人工時(shí)為 2000h，那么應(yīng)該如何安排生產(chǎn)計(jì)劃使利潤(rùn)最大？
首先要理解生產(chǎn)某種服裝就會(huì)發(fā)生設(shè)備租金，租金只與是否生產(chǎn)該產(chǎn)品有關(guān)，而與生產(chǎn)數(shù)量無(wú)關(guān)，這就是固定成本。因此本題屬于固定費(fèi)用問(wèn)題。
有些同學(xué)下意識(shí)地認(rèn)為是從 3 種產(chǎn)品中選擇一種，但題目中并沒(méi)有限定必須或只能生產(chǎn)一種產(chǎn)品，因此決策結(jié)果可以是都不生產(chǎn)、選擇 1 種或 2 種產(chǎn)品、3 種都生產(chǎn)。
決策結(jié)果會(huì)是什么都不生產(chǎn)嗎？有可能的。
每種產(chǎn)品的利潤(rùn)：（銷(xiāo)售價(jià)格 - 材料成本）× 生產(chǎn)數(shù)量 - 設(shè)備租金
本題中如果設(shè)備租金很高，決策結(jié)果就可能是什么都不做時(shí)利潤(rùn)最大，這是利潤(rùn)為 0，至少不虧。
現(xiàn)在可以用固定費(fèi)用問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型來(lái)描述問(wèn)題了：
編程求解建立的數(shù)學(xué)模型，用標(biāo)準(zhǔn)模型的優(yōu)化算法對(duì)模型求解，得到優(yōu)化結(jié)果。
模型求解的編程步驟與之前的線(xiàn)性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題并沒(méi)有什么區(qū)別，這就是 PuLP工具包的優(yōu)勢(shì)。
（0）導(dǎo)入 PuLP庫(kù)函數(shù)
import pulp
（1）定義一個(gè)規(guī)劃問(wèn)題
FixedCostP1 = pulp.LpProblem("Fixed_cost_problem", sense=pulp.LpMaximize) # 定義問(wèn)題，求最大值
pulp.LpProblem 用來(lái)定義問(wèn)題的構(gòu)造函數(shù)。"FixedCostP1"是用戶(hù)定義的問(wèn)題名。
參數(shù) sense 指定問(wèn)題求目標(biāo)函數(shù)的最小值/最大值 。本例求最大值，選擇 “pulp.LpMaximize” 。
（2）定義決策變量
x1 = pulp.LpVariable('A', cat='Binary') # 定義 x1，0-1變量，是否生產(chǎn) A 產(chǎn)品
x2 = pulp.LpVariable('B', cat='Binary') # 定義 x2，0-1變量，是否生產(chǎn) B 產(chǎn)品
x3 = pulp.LpVariable('C', cat='Binary') # 定義 x3，0-1變量，是否生產(chǎn) C 產(chǎn)品
y1 = pulp.LpVariable('yieldA', lowBound=0, upBound=100, cat='Integer') # 定義 y1，整型變量
y2 = pulp.LpVariable('yieldB', lowBound=0, upBound=600, cat='Integer') # 定義 y2，整型變量
y3 = pulp.LpVariable('youCans', lowBound=0, upBound=150, cat='Integer') # 定義 y3，整型變量
pulp.LpVariable 用來(lái)定義決策變量的函數(shù)。參數(shù) cat 用來(lái)設(shè)定變量類(lèi)型，' Binary ' 表示0/1變量（用于0/1規(guī)劃問(wèn)題），' Integer ' 表示整數(shù)變量。'lowBound'、'upBound' 分別表示變量取值范圍的下限和上限。
（3）添加目標(biāo)函數(shù)
FixedCostP1 += pulp.lpSum(-5000*x1-2000*x2-2000*x3+120*y1+10*y2+100*y3) # 設(shè)置目標(biāo)函數(shù) f(x)
（4）添加約束條件
FixedCostP1 += (5*y1 + y2 + 4*y3 = 2000) # 不等式約束 FixedCostP1 += (3*y1 - 300*x1 = 0) # 不等式約束 FixedCostP1 += (0.5*y2 - 300*x2 = 0) # 不等式約束 FixedCostP1 += (2*y3 - 300*x3 = 0) # 不等式約束
添加約束條件使用 "問(wèn)題名 += 約束條件表達(dá)式" 格式。
約束條件可以是等式約束或不等式約束，不等式約束可以是 小于等于 或 大于等于，分別使用關(guān)鍵字">="、"="和"=="。
（5）求解
FixedCostP1.solve()
solve() 是求解函數(shù)，可以對(duì)求解器、求解精度進(jìn)行設(shè)置。
import pulp # 導(dǎo)入 pulp 庫(kù)
# 主程序
def main():
# 固定費(fèi)用問(wèn)題(Fixed cost problem)
print("固定費(fèi)用問(wèn)題(Fixed cost problem)")
# 問(wèn)題建模：
"""
決策變量：
y(i) = 0, 不生產(chǎn)第 i 種產(chǎn)品
y(i) = 1, 生產(chǎn)第 i 種產(chǎn)品
x(i), 生產(chǎn)第 i 種產(chǎn)品的數(shù)量, i>=0 整數(shù)
i=1,2,3
目標(biāo)函數(shù)：
min profit = 120x1 + 10x2+ 100x3 - 5000y1 - 2000y2 - 2000y3
約束條件：
5x1 + x2 + 4x3 = 2000
3x1 = 300y1
0.5x2 = 300y2
2x3 = 300y3
變量取值范圍：Youcans XUPT
0=x1=100, 0=x2=600, 0=x3=150, 整數(shù)變量
y1, y2 ,y3 為 0/1 變量
"""
# 1. 固定費(fèi)用問(wèn)題(Fixed cost problem), 使用 PuLP 工具包求解
# (1) 建立優(yōu)化問(wèn)題 FixedCostP1: 求最大值(LpMaximize)
FixedCostP1 = pulp.LpProblem("Fixed_cost_problem_1", sense=pulp.LpMaximize) # 定義問(wèn)題，求最大值
# (2) 建立變量
x1 = pulp.LpVariable('A', cat='Binary') # 定義 x1，0-1變量，是否生產(chǎn) A 產(chǎn)品
x2 = pulp.LpVariable('B', cat='Binary') # 定義 x2，0-1變量，是否生產(chǎn) B 產(chǎn)品
x3 = pulp.LpVariable('C', cat='Binary') # 定義 x3，0-1變量，是否生產(chǎn) C 產(chǎn)品
y1 = pulp.LpVariable('yieldA', lowBound=0, upBound=100, cat='Integer') # 定義 y1，整型變量
y2 = pulp.LpVariable('yieldB', lowBound=0, upBound=600, cat='Integer') # 定義 y2，整型變量
y3 = pulp.LpVariable('yieldC', lowBound=0, upBound=150, cat='Integer') # 定義 y3，整型變量
# (3) 設(shè)置目標(biāo)函數(shù)
FixedCostP1 += pulp.lpSum(-5000*x1-2000*x2-2000*x3+120*y1+10*y2+100*y3) # 設(shè)置目標(biāo)函數(shù) f(x)
# (4) 設(shè)置約束條件
FixedCostP1 += (5*y1 + y2 + 4*y3 = 2000) # 不等式約束
FixedCostP1 += (3*y1 - 300*x1 = 0) # 不等式約束
FixedCostP1 += (0.5*y2 - 300*x2 = 0) # 不等式約束
FixedCostP1 += (2*y3 - 300*x3 = 0) # 不等式約束
# (5) 求解 youcans
FixedCostP1.solve()
# (6) 打印結(jié)果
print(FixedCostP1.name)
if pulp.LpStatus[FixedCostP1.status] == "Optimal": # 獲得最優(yōu)解
for v in FixedCostP1.variables(): # youcans
print(v.name, "=", v.varValue) # 輸出每個(gè)變量的最優(yōu)值
print("Youcans F(x) = ", pulp.value(FixedCostP1.objective)) # 輸出最優(yōu)解的目標(biāo)函數(shù)值
return
if __name__ == '__main__': # Copyright 2021 YouCans, XUPT
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Result - Optimal solution found
Fixed_cost_problem_1
A = 1.0
B = 1.0
C = 1.0
yieldA = 100.0
yieldB = 600.0
yieldC = 150.0
Max F(x) = 24000.0
從固定費(fèi)用問(wèn)題模型的求解結(jié)果可知，A、B、C 三種服裝都生產(chǎn)，產(chǎn)量分別為 A/100、B/600、C/150 時(shí)獲得最大利潤(rùn)為：24000。
通過(guò)從線(xiàn)性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、0-1規(guī)劃到上例中的混合0-1規(guī)劃問(wèn)題，我們已經(jīng)充分體會(huì)到 PuLP 使用相同的步驟和參數(shù)處理不同問(wèn)題所帶來(lái)的便利。
但是，如果問(wèn)題非常復(fù)雜，例如變量數(shù)量很多，約束條件復(fù)雜，逐個(gè)定義變量、逐項(xiàng)編寫(xiě)目標(biāo)函數(shù)與約束條件的表達(dá)式，不僅顯得重復(fù)冗長(zhǎng)，不方便修改對(duì)變量和參數(shù)的定義，而且在輸入過(guò)程中容易發(fā)生錯(cuò)誤。因此，我們希望用字典、列表、循環(huán)等快捷方法來(lái)進(jìn)行變量定義、目標(biāo)函數(shù)和約束條件設(shè)置。
PuLP 提供了快捷建模的編程方案，下面我們?nèi)砸陨瞎?jié)中的固定費(fèi)用問(wèn)題為例進(jìn)行介紹。本例中的問(wèn)題、條件和參數(shù)都與上節(jié)完全相同，以便讀者進(jìn)行對(duì)照比較快捷方法的具體內(nèi)容。
（0）導(dǎo)入 PuLP 庫(kù)函數(shù)
import pulp
（1）定義一個(gè)規(guī)劃問(wèn)題
FixedCostP2 = pulp.LpProblem("Fixed_cost_problem", sense=pulp.LpMaximize) # 定義問(wèn)題，求最大值
（2）定義決策變量
types = ['A', 'B', 'C'] # 定義產(chǎn)品種類(lèi)
status = pulp.LpVariable.dicts("生產(chǎn)決策", types, cat='Binary') # 定義 0/1 變量，是否生產(chǎn)該產(chǎn)品
yields = pulp.LpVariable.dicts("生產(chǎn)數(shù)量", types, lowBound=0, upBound=600, cat='Integer') # 定義整型變量
本例中的快捷方法使用列表 types 定義 0/1 變量 status 和 整型變量 yields，不論產(chǎn)品的品種有多少，都只有以上幾句，從而使程序大為簡(jiǎn)化。
（3）添加目標(biāo)函數(shù)
fixedCost = {'A':5000, 'B':2000, 'C':2000} # 各產(chǎn)品的 固定費(fèi)用
unitProfit = {'A':120, 'B':10, 'C':100} # 各產(chǎn)品的 單位利潤(rùn)
FixedCostP2 += pulp.lpSum([(yields[i]*unitProfit[i]- status[i]*fixedCost[i]) for i in types])
雖然看起來(lái)本例中定義目標(biāo)函數(shù)的程序語(yǔ)句較長(zhǎng)，但由于使用字典定義參數(shù)、使用 for 循環(huán)定義目標(biāo)函數(shù)，因此程序更加清晰、簡(jiǎn)明、便于修改參數(shù)、不容易輸入錯(cuò)誤。
（4）添加約束條件
humanHours = {'A':5, 'B':1, 'C':4} # 各產(chǎn)品的 單位人工工時(shí)
machineHours = {'A':3.0, 'B':0.5, 'C':2.0} # 各產(chǎn)品的 單位設(shè)備工時(shí)
maxHours = {'A':300, 'B':300, 'C':300} # 各產(chǎn)品的 最大設(shè)備工時(shí)
FixedCostP2 += pulp.lpSum([humanHours[i] * yields[i] for i in types]) = 2000 # 不等式約束
for i in types:
FixedCostP2 += (yields[i]*machineHours[i] - status[i]*maxHours[i] = 0) # 不等式約束
快捷方法對(duì)于約束條件的定義與對(duì)目標(biāo)函數(shù)的定義相似，使用字典定義參數(shù)，使用循環(huán)定義約束條件，使程序簡(jiǎn)單、結(jié)構(gòu)清楚。
注意本例使用了兩種不同的循環(huán)表達(dá)方式：語(yǔ)句內(nèi)使用 for 循環(huán)遍歷列表實(shí)現(xiàn)所有變量的線(xiàn)性組合，標(biāo)準(zhǔn)的 for 循環(huán)結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)多組具有相似結(jié)構(gòu)的約束條件。讀者可以對(duì)照數(shù)學(xué)模型及上例的例程，理解這兩種定義約束條件的快捷方法。
（5）求解和結(jié)果的輸出
# (5) 求解
FixedCostP2.solve()
# (6) 打印結(jié)果
print(FixedCostP2.name)
temple = "品種 %(type)s 的決策是：%(status)s，生產(chǎn)數(shù)量為：%(yields)d"
if pulp.LpStatus[FixedCostP2.status] == "Optimal": # 獲得最優(yōu)解
for i in types:
output = {'type': i,
'status': '同意' if status[i].varValue else '否決',
'yields': yields[i].varValue}
print(temple % output) # youcans@qq.com
print("最大利潤(rùn) = ", pulp.value(FixedCostP2.objective)) # 輸出最優(yōu)解的目標(biāo)函數(shù)值
由于快捷方法使用列表或字典定義變量，對(duì)求解的優(yōu)化結(jié)果也便于實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)化的輸出。
import pulp # 導(dǎo)入 pulp 庫(kù)
# 主程序
def main():
# 2. 問(wèn)題同上，PuLP 快捷方法示例
# (1) 建立優(yōu)化問(wèn)題 FixedCostP2: 求最大值(LpMaximize)
FixedCostP2 = pulp.LpProblem("Fixed_cost_problem_2", sense=pulp.LpMaximize) # 定義問(wèn)題，求最大值
# (2) 建立變量
types = ['A', 'B', 'C'] # 定義產(chǎn)品種類(lèi)
status = pulp.LpVariable.dicts("生產(chǎn)決策", types, cat='Binary') # 定義 0/1 變量，是否生產(chǎn)該產(chǎn)品
yields = pulp.LpVariable.dicts("生產(chǎn)數(shù)量", types, lowBound=0, upBound=600, cat='Integer') # 定義整型變量
# (3) 設(shè)置目標(biāo)函數(shù)
fixedCost = {'A':5000, 'B':2000, 'C':2000} # 各產(chǎn)品的 固定費(fèi)用
unitProfit = {'A':120, 'B':10, 'C':100} # 各產(chǎn)品的 單位利潤(rùn)
FixedCostP2 += pulp.lpSum([(yields[i]*unitProfit[i]- status[i]*fixedCost[i]) for i in types])
# (4) 設(shè)置約束條件
humanHours = {'A':5, 'B':1, 'C':4} # 各產(chǎn)品的 單位人工工時(shí)
machineHours = {'A':3.0, 'B':0.5, 'C':2.0} # 各產(chǎn)品的 單位設(shè)備工時(shí)
maxHours = {'A':300, 'B':300, 'C':300} # 各產(chǎn)品的 最大設(shè)備工時(shí)
FixedCostP2 += pulp.lpSum([humanHours[i] * yields[i] for i in types]) = 2000 # 不等式約束
for i in types:
FixedCostP2 += (yields[i]*machineHours[i] - status[i]*maxHours[i] = 0) # 不等式約束
# (5) 求解 youcans
FixedCostP2.solve()
# (6) 打印結(jié)果
print(FixedCostP2.name)
temple = "品種 %(type)s 的決策是：%(status)s，生產(chǎn)數(shù)量為：%(yields)d"
if pulp.LpStatus[FixedCostP2.status] == "Optimal": # 獲得最優(yōu)解
for i in types:
output = {'type': i,
'status': '同意' if status[i].varValue else '否決',
'yields': yields[i].varValue}
print(temple % output)
print("最大利潤(rùn) = ", pulp.value(FixedCostP2.objective)) # 輸出最優(yōu)解的目標(biāo)函數(shù)值
return
if __name__ == '__main__': # Copyright 2021 YouCans, XUPT
main()
Welcome to the CBC MILP Solver
Version: 2.9.0
Build Date: Feb 12 2015
Result - Optimal solution found
Fixed_cost_problem_2
品種 A 的決策是：同意，生產(chǎn)數(shù)量為：100
品種 B 的決策是：同意，生產(chǎn)數(shù)量為：600
品種 C 的決策是：同意，生產(chǎn)數(shù)量為：150
最大利潤(rùn) = 24000.0
本例的問(wèn)題、條件和參數(shù)都與上節(jié)完全相同，只是采用 PuLP 提供的快捷建模的編程方案，優(yōu)化結(jié)果也與 PuLP 標(biāo)準(zhǔn)方法完全相同，但本例使用了結(jié)構(gòu)化的輸出顯示，使輸出結(jié)果更為直觀。
以上就是淺談Python數(shù)學(xué)建模之固定費(fèi)用問(wèn)題的詳細(xì)內(nèi)容，更多關(guān)于Python 數(shù)學(xué)建模 固定費(fèi)用的資料請(qǐng)關(guān)注腳本之家其它相關(guān)文章！
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