淺談Python數(shù)學(xué)建模之線性規(guī)劃

一、求解方法、算法和編程方案

線性規(guī)劃 （Linear Programming，LP） 是很多數(shù)模培訓(xùn)講的第一個算法，算法很簡單，思想很深刻。

線性規(guī)劃問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容，雞兔同籠就是一個線性規(guī)劃問題。數(shù)學(xué)規(guī)劃的題目在高考中也經(jīng)常出現(xiàn)，有直接給出線性約束條件求線性目標函數(shù)極值，有間接給出約束條件求線性目標函數(shù)極值，還有已知約束條件求非線性目標函數(shù)極值問題。

因此，線性規(guī)劃在數(shù)學(xué)建模各類問題和算法中確實是比較簡單的問題。下面我們通過這個比較簡單、也比較熟悉的問題，分析一下數(shù)學(xué)模型問題的方法、算法和學(xué)習(xí)方案。探討這些容易混淆的概念，也便于大家理解本系列教程的初衷和特色。

1.1、線性規(guī)劃問題的求解方法

解決線性規(guī)劃問題有很多數(shù)學(xué)方法，例如：

• 圖解法， 用幾何作圖的方法并求出其最優(yōu)解，中學(xué)就講過這種方法，在經(jīng)濟學(xué)研究中十分常用；
• 矩陣法， 引進松弛變量將線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)換成增廣矩陣形式后逐次求解， 是單純性法之前的典型方法；
• 單純性法， 利用多面體在可行域內(nèi)逐步構(gòu)造新的頂點來不斷逼近最優(yōu)解，是線性規(guī)劃研究的里程碑，至今仍然是最重要的方法之一；
• 內(nèi)點法，通過選取可行域內(nèi)部點沿下降方向不斷迭代來達到最優(yōu)解，是目前理論上最好的線性規(guī)劃問題求解方法；
• 啟發(fā)式方法，依靠經(jīng)驗準則不斷迭代改進來搜索最優(yōu)解 ，如貪心法、模擬退火、遺傳算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。

雖然不同的求解方法都是面對線性規(guī)劃問題，也就必然會殊途同歸，但它們在思想上就存在著本質(zhì)區(qū)別，在求解方法和步驟上也就完全不同。

不夸張地說，對于很多小白，學(xué)沒學(xué)過單純性法，對于學(xué)習(xí)啟發(fā)式方法可能完全沒有區(qū)別。

這意味著什么呢？這就是說，對于非數(shù)學(xué)專業(yè)的同學(xué)，對于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的同學(xué)，針對每一類問題，完全沒必要學(xué)習(xí)各種解決方法。即便是數(shù)學(xué)專業(yè)的同學(xué)，也不可能在數(shù)模學(xué)習(xí)期間把各種方法都學(xué)會。

對于小白，本文推薦選擇較為通用、相對簡單（思路簡單、程序簡單）的方法來進行學(xué)習(xí)，沒必要貪多求新。

1.2、線性規(guī)劃的最快算法

算法，跟方法有什么不同呢？

算法的定義是“解題方案的準確而完整的描述”，是一系列解決問題的清晰指令，算法代表著用系統(tǒng)的方法描述解決問題的策略機制。

我對“方法”的理解是思想方法，是求解問題總體框架，而“算法”是具體和明確的實現(xiàn)步驟，在計算機編程中相當于詳細的流程圖。

在每一種方法的基本思想和方案提出后，往往都會有很多變形、改進和發(fā)展的算法。極少的改進算法具有實質(zhì)貢獻而成為主流的經(jīng)典算法，即便如此往往也只是性能、效率上的提升，對于求解數(shù)模競賽中的問題基本沒有影響。

而絕大多數(shù)改進算法只是針對某些特殊情況、特殊問題（自稱）有效，常用于大量的灌水論文。對于數(shù)學(xué)建模來說，學(xué)習(xí)基本算法或者目前的經(jīng)典算法就足夠了，不需要聽信改進算法中自稱的優(yōu)點，那都是莆田系的廣告。

有一種例外情況，就是一些算法是有適用范圍和限制條件的。舉個例子，內(nèi)點法的基本算法不能處理等式約束，最短路徑問題中 Dijkstar算法不能處理負權(quán)邊。這種情況下如果選錯算法，問題是無法求解的。所以對我們來說，搞清楚算法的適用范圍，比理解算法本身更重要。

回到本節(jié)的標題，對于線性規(guī)劃問題，什么算法是最快的呢？答案是：猜。不是讓你猜，而是說求解線性規(guī)劃問題，猜起來比較快。不是開玩笑，我是認真的。

佐治亞理工學(xué)院彭泱教授在 2021年計算機理論頂會 SODA2021 獲得最佳論文（Best paper award at ACM-SIAM symposium on discrete algorithms 2021），正是研究線性規(guī)劃問題的求解——“Solving sparse linear systems faster than matrix multiplication”，所用的全新思路是：猜，反復(fù)猜，迭代猜。

當然，猜起來比較快只是在某些特殊條件下才有效的，至于在什么條件下猜，怎么猜，這不是我們所要關(guān)心，所能理解的問題了。只是以此說明，簡單的問題也有復(fù)雜的情況，每個問題都有很多求解的思路、方法和算法。

1.3、選擇適合自己的編程方案

編程方案是我杜撰的術(shù)語。我所要表達意思是，在選擇了求解方法和算法以后，是自己按照算法步驟一步步編程實現(xiàn)，或者找到例程調(diào)試使用，還是調(diào)用第三方工具包/庫函數(shù)來完成呢？

首先，對于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模、參加數(shù)模競賽，不建議自己按照算法步驟去編程。我們在《01.新手必讀》中討論過這個問題，對于數(shù)學(xué)小白兼計算機小白，這樣做既不可行也沒必要；即使你愿意挑戰(zhàn)自我去試試，那其實已經(jīng)是走在學(xué)習(xí)另一門計算機或算法課程的路上了。

其次，要不要找到例程自己調(diào)試、使用？很多數(shù)模培訓(xùn)就是這么說，這么做的，而且把這些收集的例程當作核心機密吸引同學(xué)。我不反對這樣做，這種學(xué)習(xí)方法對于理解算法、提高編程能力很有幫助；但是并不推薦這樣做，原因是：

（1）我認為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模、參加數(shù)模競賽，重點應(yīng)該放在識別問題、分析問題、解決問題，能使用算法和編程就足夠了；

（2）第三方庫與例程沒有本質(zhì)區(qū)別，第三方庫就是經(jīng)典的、規(guī)范的、標準化的例程，既然選擇例程為什么不選擇優(yōu)秀的例程——第三方庫呢？

（3）大部分例程都存在很多問題，即使調(diào)試通過仍然有很多坑，而且新手難以識別。

所以我是明確推薦優(yōu)選直接使用第三方庫來解決問題，這也是 Python 語言“不要重復(fù)造輪子”的思想。

進一步地，很多工具包/庫函數(shù)都能實現(xiàn)常用的算法，應(yīng)該如何選擇呢？

如果你對某個工具包已經(jīng)很熟悉，又能實現(xiàn)所要的算法，這當然是理想的選擇。如果你是小白，就跟著我走吧。

本系列選擇第三方工具包的原則是：

（1）優(yōu)選常用的工具包；

（2）優(yōu)選通用功能的工具包和函數(shù)（例如，最好既能實現(xiàn)線性規(guī)劃，又能實現(xiàn)整數(shù)規(guī)劃、非線性規(guī)劃）；

（3）優(yōu)選安裝簡單、使用簡單、配置靈活的工具包；

（4）優(yōu)選兼模型檢驗、圖形繪制的工具包。

二、PuLP庫求解線性規(guī)劃問題

2.1、線性規(guī)劃問題的描述

線性規(guī)劃是研究線性等式或不等式約束條件下求解線性目標函數(shù)的極值問題，常用于解決資源分配、生產(chǎn)調(diào)度和混合問題。

一般線性規(guī)劃問題的標準形式為：

滿足所有約束條件的解，稱為線性規(guī)劃問題的可行解；所有可行解構(gòu)成的集合，稱為可行域。

使目標函數(shù)達到最小值的解，稱為最優(yōu)解。

線性規(guī)劃問題的建模和求解，通常按照以下步驟進行：

• 問題定義，確定決策變量、目標函數(shù)和約束條件；
• 模型構(gòu)建，由問題描述建立數(shù)學(xué)方程，并轉(zhuǎn)化為標準形式的數(shù)學(xué)模型；
• 模型求解，用標準模型的優(yōu)化算法對模型求解，得到優(yōu)化結(jié)果。

很多 Python 的第三方包，都提供求解線性規(guī)劃問題的算法，有的工具包還提供整數(shù)規(guī)劃、非線性規(guī)劃的算法。例如：

• Scipy 庫提供了解簡單線性或非線性規(guī)劃問題，但是不能求解如背包問題的0-1規(guī)劃問題，或整數(shù)規(guī)劃問題，混合整數(shù)規(guī)劃問題。
• PuLP 可以求解線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、0-1規(guī)劃、混合整數(shù)規(guī)劃問題，提供多種針對不同類型問題的求解器。
• Cvxpy 是一種凸優(yōu)化工具包，可以求解線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、0-1規(guī)劃、混合整數(shù)規(guī)劃、二次規(guī)劃和幾何規(guī)劃問題。

此外，SKlearn、DOcplex、Pymprog 等很多第三方工具包也都能求解線性規(guī)劃問題。

2.2、PuLP 求解線性規(guī)劃問題的步驟

例題 1：

下面以該題為例講解 PuLP 求解線性規(guī)劃問題的步驟：

（0）導(dǎo)入 PuLP庫函數(shù)

import pulp

（1）定義一個規(guī)劃問題

MyProbLP = pulp.LpProblem("LPProbDemo1", sense=pulp.LpMaximize)

pulp.LpProblem 是定義問題的構(gòu)造函數(shù)。

"LPProbDemo1"是用戶定義的問題名（用于輸出信息）。

參數(shù) sense 用來指定求最小值/最大值問題，可選參數(shù)值：LpMinimize、LpMaximize 。本例 “sense=pulp.LpMaximize” 表示求目標函數(shù)的最大值。

（2）定義決策變量

x1 = pulp.LpVariable('x1', lowBound=0, upBound=7, cat='Continuous') 
x2 = pulp.LpVariable('x2', lowBound=0, upBound=7, cat='Continuous')
x3 = pulp.LpVariable('x3', lowBound=0, upBound=7, cat='Continuous') 

pulp.LpVariable 是定義決策變量的函數(shù)。
'x1' 是用戶定義的變量名。

參數(shù) lowBound、upBound 用來設(shè)定決策變量的下界、上界；可以不定義下界/上界，默認的下界/上界是負無窮/正無窮。本例中 x1,x2,x3 的取值區(qū)間為 [0,7]。

參數(shù) cat 用來設(shè)定變量類型，可選參數(shù)值：'Continuous' 表示連續(xù)變量（默認值）、' Integer ' 表示離散變量（用于整數(shù)規(guī)劃問題）、' Binary ' 表示0/1變量（用于0/1規(guī)劃問題）。

（3）添加目標函數(shù)

MyProbLP += 2*x1 + 3*x2 - 5*x3  	# 設(shè)置目標函數(shù)

添加目標函數(shù)使用 "問題名 += 目標函數(shù)式" 格式。

（4）添加約束條件

MyProbLP += (2*x1 - 5*x2 + x3 >= 10)  # 不等式約束
MyProbLP += (x1 + 3*x2 + x3 = 12)  # 不等式約束
MyProbLP += (x1 + x2 + x3 == 7)  # 等式約束

添加約束條件使用 "問題名 += 約束條件表達式" 格式。

約束條件可以是等式約束或不等式約束，不等式約束可以是 小于等于 或 大于等于，分別使用關(guān)鍵字">="、"="和"=="。

（5）求解

MyProbLP.solve()
print("Status:", pulp.LpStatus[MyProbLP.status]) # 輸出求解狀態(tài)
for v in MyProbLP.variables():
    print(v.name, "=", v.varValue)  # 輸出每個變量的最優(yōu)值
print("F(x) = ", pulp.value(MyProbLP.objective))  #輸出最優(yōu)解的目標函數(shù)值   

solve() 是求解函數(shù)。PuLP默認采用 CBC 求解器來求解優(yōu)化問題，也可以調(diào)用其它的優(yōu)化器來求解，如：GLPK，COIN CLP/CBC，CPLEX，和GUROBI，但需要另外安裝。　

2.3、Python例程：線性規(guī)劃問題

例程 1：求解線性規(guī)劃問題

import pulp
MyProbLP = pulp.LpProblem("LPProbDemo1", sense=pulp.LpMaximize)  # 求最大值
x1 = pulp.LpVariable('x1', lowBound=0, upBound=7, cat='Continuous') 
x2 = pulp.LpVariable('x2', lowBound=0, upBound=7, cat='Continuous') 
x3 = pulp.LpVariable('x3', lowBound=0, upBound=7, cat='Continuous') 
MyProbLP += 2*x1 + 3*x2 - 5*x3  	# 設(shè)置目標函數(shù)
MyProbLP += (2*x1 - 5*x2 + x3 >= 10)  # 不等式約束
MyProbLP += (x1 + 3*x2 + x3 = 12)  # 不等式約束
MyProbLP += (x1 + x2 + x3 == 7)  # 等式約束
MyProbLP.solve()  # youcans@xupt
print("Status:", pulp.LpStatus[MyProbLP.status]) # 輸出求解狀態(tài)
for v in MyProbLP.variables():  # youcans
    print(v.name, "=", v.varValue)  # 輸出每個變量的最優(yōu)值
print("Max F(x) = ", pulp.value(MyProbLP.objective))  #輸出最優(yōu)解的目標函數(shù)值

例程 1 運行結(jié)果：

Welcome to the CBC MILP Solver 

Version: 2.9.0 

Build Date: Feb 12 2015 

Status: Optimal

x1 = 6.4285714

x2 = 0.57142857

x3 = 0.0

Max F(x) =  14.57142851

例程01 程序說明：

• 用 PuLP 庫求解線性規(guī)劃問題，可以選擇求最大值或最小值，可以按照問題的數(shù)學(xué)描述，直接輸入目標函數(shù)、等式約束和不等式約束，不等式約束可以選擇 = 或 >=，不需要進行轉(zhuǎn)換。這中方式簡單直觀，非常適合初學(xué)者掌握。
• 對于較大規(guī)模線性規(guī)劃問題， PuLP 庫支持用字典類型（dict）建立多個變量，設(shè)置目標函數(shù)和約束條件。

三、小結(jié)

求解線性規(guī)劃問題的方法非常簡單，本文實際上并未講解具體的算法。

希望通過對求解方法、算法和編程方案的講解，闡明作者對于數(shù)學(xué)建模學(xué)什么、怎么學(xué)的理解，也使讀者能了解本系列教程的特點：本教程不打算詳細講解各種算法的具體方法，重點介紹如何使用第三方包實現(xiàn)算法、解決問題。

以上就是淺談Python數(shù)學(xué)建模之線性規(guī)劃的詳細內(nèi)容，更多關(guān)于Python 線性規(guī)劃的資料請關(guān)注腳本之家其它相關(guān)文章！